数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)。
求证:存在4个函数fi(x)(i=1,2,3,4)满足:
(1)对i=1,2,3,4,fi(x)是偶函数,且对任意的实数x,有fi(x+π)=fi(x);
(2)对任意的实数x,有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。
题目看起来非常简洁,可是陆时羡知道最后的解答过程是题目的数倍,可能还不止。
时间不多,陆时羡决定先解决第一题。
陆时羡用屁股想都明白,凡是跟圆周率π挨上边的基本上就跟周期函数挂钩了。
他直接策反了敌方f(x)两员大将的g(x)与h(x),且g(x)是偶函数,h(x)是奇函数,对任意的x∈r,g(x+2π)=g(x),h(x+2π)=h(x)。
然后分别代入四条函数fi(x),i=1,2,3,4。得到四条函数f1(x)、f2(x)、f2(x)、f4(x)的表达式。
故fi(x),i=1,2,3,4是偶函数,且对任意的x∈r,fi(x+π)=fi(x)。
这个倒是简单,极有限次数的验证只需要分别代入验证就行了,不费脑子。
陆时羡觉得只要次数在10以下,他都能接受,无非就是费点笔芯而已。
毕竟总比看半天题目无从下手的强。
不过此题好像还是给了参赛者一些余地,因为陆时羡发现第二问与第一问的关联很大。
将刚刚第一问得到的代数式代入
接下来,分情况讨论就完事了。
因为f1(x)、f2(x)、f2(x)、f4(x)因为x的取值范围,从而存在6种情况。
其中有两种已经无需讨论,已经是从实招来。
还有四种情况依然负隅抵抗,陆时羡只好使出假设杀威棒。
最后它们终于被屈打成招,也因此证明了所有六种情况完全成立。
综上所述,此式成立得证!
陆时羡长吐一口气,再用余光看向周围时,诺大的教室居然只剩下他一个人。
他忽然心里一慌,时间还没结束啊,不会吧?
自己花这么大力气证明的题目,别人这么快就做完了?
是我老了提不动屠龙刀了,还是现在的小朋友太厉害?
他一抬头,就看着监考员直盯盯地望着他。
什么意思?是我让你失望了吗?
对不起我道歉,我承认我真的是个数学渣渣。
他颇为忧郁地起身交卷,然后收拾行李,准备离开这个伤心地。
可没想到当他离开的时候,背后传来监考员的赞叹声。
“哎呦,不错哦!这个考场的人早就放弃提前走了,只有你还在默默坚持。”
陆时羡:????
“不管对错,你能做完,也不愧我盯你一个人盯了一个小时了。”
陆时羡:ε?(?>灬<)?з
陆时羡本来低潮的心情又渐渐回升起来。
这意思好像是我还算可以,宝刀未老啊!
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